Painopisteen etsiminen

Kaikkihan tietää sen tavallisen PP:n(painopisteen) laskumetodin, missä summataan massoja, ja etäisyyksiä jne.

Tuossa siis pitää tehdä tuo laskuruljanssi kahteen kertaan, jotta löytää PP:n sekä X-, että Y-akselilla.

Olen miettinyt että eikö ole laskutapaa, joka antaisi molemmat akselit kerralla.

Nyt keksin sellaisen. Varmaan tämä tapa jo tunnetaan, mutta kun olen koulutaustaltani pelkkä amislainen luupää, eli täysin kouluttamaton, niin en tunne kaikkia tekniikoita.

Metodin perus-idea perustuu johonkin, jonka muistin tähtitieteestä.

Osaatko sanoa, kiertääkö maa kuuta, vai kuu maata? Kun oikein tarkkoja ollaan, niin molemmat kiertää yhteisen pisteen ympärillä, tämä piste on tämän maa-kuu-systeemin painopiste, nimeltä barycenter. En tiedä onko sille jotain suomenkielistä termiä.

Tätä maa-kuu-systeemiä voi siis ajatella yhtenä kappaleena, jolla on painopiste(barycenter). Ja sen sijainnin laskemisessa voi käyttää hyväkseen tietoa siitä, että näiden kappaleiden massojen, ja painopisteiden etäisyyksillä barycenteriin nähden vallitsee käänteinen verrannollisuus.

Eli siis, maan massan suhde kuun massaan, on sama kuin maan ja kuun PP:n etäisyyksien suhde barycenteriin,  mutta kääntäen.

‍

Tuota tietoa voi siis hyödyntää, kun lasketaan PP:n sijaintia epäsymmetriselle elementille, jolle pitäisi laskea lyhennys.

‍

Jaetaan tuo elementti ensin lohkoihin, viiteen eri lohkoon tarkalleen. Ja merkitään jokaisen lohkon PP, kun tämä on tasapaksu kappale, PP on siis lohkon geometrisessä keskipisteessä.

‍

‍

‍

Koska kyseessä on tasapaksu kappale, massan voi korvata pinta-alalla. "Massan" yksikkönä tässä on ruutu. Ensimmäisen lohkon massa on 96, ja toisen lohkon 56 ruutua.

‍

Kahden ensimmäisen lohkon painopisteet yhdistetään janalla. Nämä kaksi muodostaa nyt yhden systeemin, ja tämän systeemin PP sijaitsee tuolla janalla.

Näiden kahden PP:n etäisyys yhteiseen painopisteeseen, on siis kääntäen verrannollinen kappaleiden massoihin.

‍

‍

Ensin pitää selvittää janan pituus, katson sen ihan yksinkertaisesti mitalla. Se on noin 52 mm. Sen jaetaan oikeisiin suhteisiin rinnastamalla sen viivan koko pituus, tuon systeemin koko massaan. Koko massa on siis 96+56=152. Eli jana jaetaan 152:een osaan 52/152. Ja tuon jaon tulos kerrotaan pienemmän lohkon massalla, eli 56:lla.

Siitä tulee 19.2. Eli tämän kahden kappaleen systeemin PP sijaitsee 19.2 mm suuremman lohkon PP:stä.

‍

‍

‍

Tämän yhdistyneen systeemin PP:stä vedetään nyt jana kolmos lohkon painopisteeseen. Ja toistetaan sama laskukaava. Mitataan viiva, 71 mm, jaetaan se massalla, 440, ja kerrotaan pienemmän systeemin massalla, 152:lla. Ja saadaan sijainti suuremman kappaleen PP:stä, 24.5 mm.

‍

‍

Seuraavaksi edessä on lohko, jossa ikkuna-aukko jakaa sen kahteen osaan. Helpointa on kai yhdistää ylä-, ja alaosa yhdeksi systeemiksi, edellä käytetyn metodin mukaan.

‍

‍

Sitten vedetään kolmois-systeemin PP:stä jana, ikkuna-systeemin painopisteeseen, ja lasketaan tämän koko systeemin barycenter.

‍

‍

Vielä yksi lohko jäljellä. Yhdistetään se myös tähän systeemiin, saman kaavan mukaan, ja saadaan koko systeemin, eli tämän elementin, PP.

‍

Voitte halutessanne tarkistaa perinteisellä metodilla, että PP on oikein. X-akselilla 126 mm vasemmasta reunasta, ja Y-akselilla 61 mm alareunasta.

‍

Tällä tavalla saa kerralla molemmat akselit. Paljon hitaampaa, ja työläämpää, mutta pitipähän todistaa, että ne molemmat saa kerralla.

Ja mitä muutakaan sitä tekisi näin lauantai-iltana.

‍

Update(29.01.2022):

Kaksi kuukautta meni sen tajuamiseen, että tuonhan pystyy ratkaisemaan kokonaan matemaattisesti, ilman mitään kivikautista viivoittimen käyttöä.

Sijoittaa vain elementin koordinaatistoon, vasen alakulma origoon (nollakohtaan), ja sitä kautta on helppo laskea kunkin pisteen sijainti, ja niiden etäisyydet toisiinsa nähden.

Ensimmäisenä pitää selvittää Linja 1 pituus, jossa Pythagoras auttaa. SQRT((PP2X-PP1X)^2+(PP2Y-PP1Y)^2) (Kun tähän ei voi kirjoittaa kaavoja, käytän laskuille samaa merkintätapaa kuin excelissä, pois jättäen tietyt excelin vammaisuudet). Jos et tajua mitä tuossa lukee, niin suomennan. PP2 sijainti X-akselilla, miinus PP1 sijainti X-akselilla antaa kolmion horisontaalisen sivun pituuden. Ja vertikaalisen sivun pituus haetaan samalla tavalla. Molemmat neliöjuuren sisällä, korotettuna toiseen. Se antaa hypotenuusan pituuden, eli Linja 1 pituuden, joka on 52 mm.

Sitten haetaan näiden kahden lohkon yhteinen PP(PP7) jonka tekniikan selitin jo alkuperäisessä tekstissä, joten en ala sitä toistamaan. PP7 sijaitsee 19.2 mm PP1:stä.

Sitten pitää selvittää missä PP7 sijaitsee koordinaatistolla. Siihen tarvitaan trigonometriaa.

‍

Ensimmäisenä pitää selvittää missä kulmassa Linja 1 nousee. Koska suorakulmaisen kolmion kaikki sivut kun tunnetaan, niin voi käyttää mitä funktiota haluaa, valitsen tangentin, eli vastaisen sivun suhde viereiseen. ATAN((PP1Y-PP2Y)/(PP1X-PP2X))) antaa kulman 54.8 astetta. Sen kanssa selviää PP7 sijainti kolmionsa sisällä.

COS(54.8))*19.2+PP1X=21.1 mm. Lisäsin siihen suoraan PP1 etäisyyden elementin reunasta X-akselilla. Ja Y: SIN(54.8))*19.2+PP1Y=75.7 mm.

PP7 koordinaatit siis X-21.1 ja Y-75.7.

Sitten yhdistetään kolmas lohko tähän vetämällä linja PP7:stä PP3:seen. Se on Linja 2. Sen pituus on SQRT((PP3X-PP7X)^2+(PP3Y-PP7Y)^2)=70.7 mm.

Kulma on ATAN((PP7Y-PP3Y)/(PP3X-PP7X)))=12.8 astetta. Etäisyys PP3:sta 70.7/(2400+1400+7200)*(2400+1400)=24.4 mm.

Koordinaatit: COS(12.8))*24.4-PP3X(näin siitä tulee negatiivinen luku, -66.2, mutta sillä ei ole väliä, otatte vain sen absoluuttisen arvon, joka siis käytännössä tarkoittaa, että nakkaatte miinus merkin siitä hevon kuuseen.) SIN(12.8))*24.4+PP3Y=65.4 mm.

‍

Linja 3

Ja taas, linja 3 pituus SQRT((PP4X-PP8X)^2+(PP4Y-PP8Y)^2)=98.3 mm.

Kulma: ATAN((PP4Y-PP8Y)/(PP4X-PP8X)))=25.4 astetta

Etäisyys PP8:sta: 13.5 mm.

PP9 koordinaatit: X COS(25.4))*13.5+PP8X=78.4 mm. Y SIN(25.4))*13.5+PP8Y=71.2 mm.

‍

Linja 4

Linja 4 pituus: SQRT((PP5X-PP9X)^2+(PP9Y-PP5Y)^2)=92.2 mm.

Kulma: ATAN((PP9Y-PP5Y)/(PP5X-PP9X)))=33.7 astetta

Etäisyys PP9:stä 16.6 mm

PP10 koordinaatit: X COS(33.7))*16.6+PP9X=92.2 mm. Y SIN(33.7))*16.6-PP9Y=62 mm.

‍

Ja vielä yksi niin olemme maalissa.

Linja 5

Pituus: SQRT((PP6X-PP10X)^2+(PP10Y-PP6Y)^2)=122.8 mm

Kulma: ATAN((PP10Y-PP6Y)/(PP6X-PP10X)))=0.9 astetta

Etäisyys PP10:stä: 34.2 mm.

PP11 koordinaatit: X COS(0.9))*34.2+PP10X=126.4 mm. Y SIN(0.9))*34.2-PP10Y=61.4 mm.

‍

Eli vihdoin saimme vastauksen jonka perässä olimme. Tuon elementin PP sijaitsee koordinaateissa X-126.4mm, ja Y-61.4 mm